Das Verb "teilnehmen" hat folgende Synonyme in der deutschen Sprache:
mitmachen: Beide Wörter bedeuten, an einer Aktivität oder einem Ereignis aktiv beteiligt sein. Zum Beispiel: "Er nimmt an der Diskussion teil." könnte auch heißen "Er macht bei der Diskussion mit."
sich beteiligen: Dieser Ausdruck drückt ebenfalls die aktive Teilnahme aus. "Sie beteiligt sich an dem Projekt." heißt ähnlich wie "Sie nimmt an dem Projekt teil."
an der Hand haben: In manchen Kontexten kann dies als eine etwas poetischere oder gehobene Art der Teilnahme verstanden werden. "Er hat an der Sache an der Hand." bedeutet, dass er beteiligt ist.
sich einbringen: Wenn man sich einbringt, bringt man seine Ideen, Energie oder Fähigkeiten in etwas ein. Dies kann als eine Form der Teilnahme angesehen werden. "Er bringt sich in die Arbeit ein." könnte auch heißen "Er nimmt an der Arbeit teil."
mitwirken: Man sagt, jemand mitwirkt an etwas, wenn er/sie aktiv an der Gestaltung oder Durchführung beteiligt ist. "Sie wirkt mit an der Organisation des Festes." ist vergleichbar mit "Sie nimmt an der Organisation des Festes teil."
Insgesamt drücken diese Synonyme die Idee aus, dass jemand aktiv an etwas beteiligt ist und seinen Beitrag leistet.